ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Εξεταστική Περίοδος Σεπτεμβρίου 2002
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καρλόβασι, 13/09/2002
Θέματα Μαθηματικής Λογικής
1)
Να αποδείξετε με δυο διαφορετικούς
τρόπους οτι οι παρακάτω είναι ταυτολογίες:
α. 
β. 
(Την δεύτερη την οφείλουμε στον Αριστοτέλη)
2)
Έστω φ, ψ, α είναι τύποι. Να
αποδείξετε ότι ο τύπος α είναι (ταυτολογική) συνέπεια του συνόλου {φ,ψ} εάν και
μόνο εάν ο τύπος 
είναι ταυτολογία.
3)
Δίνεται η γλώσσα L = {=, 
} μια γλώσσα της
Λογικής των Κατηγορημάτων και ένα σύνολο αξιωμάτων Σ στην L όπου το Σ αποτελείται από τα
αξιώματα
που αξιωματικοποιούν την έννοια της διάταξης για το
σύμβολο σχέσεως 
. Μπορείτε να επεκτείνεται το Σ με δυο ακόμα αξιώματα στη L που το ένα να περιγράφει ότι η 
είναι πυκνή (για κάθε
δυο διαφορετικά στοιχεία υπάρχει ένα τρίτο ανάμεσα τους) και το άλλο ότι η
διάταξη είναι ολική; Στην συνέχεια βρείτε δυο διαφορετικές ερμηνείες της L που στη μια να αληθεύει το
(επεκτεταμένο) Σ και στην άλλη να μην αληθεύει.
4)
Να βρεθεί η KMS( κανονική μορφή Skolem) των παρακάτω
δυο προτάσεων μιας γλώσσας της Λογικής των Κατηγορημάτων:
α. 
β. 
.
5) Ο Γιώργος, ο Σπύρος, ο Γιάννης και ο Βασίλης ασχολούνται πολύ με το
ποδόσφαιρο. Ο Νίκος και ο Δημήτρης υποστηρίζουν τον Παναθηναϊκό και τον
Ολυμπιακό αντίστοιχα. Ο μεν Γιώργος αγαπάει οποιονδήποτε ασχολείται με το
ποδόσφαιρο αν αυτός δεν υποστηρίζει τον Ολυμπιακό ενώ ο Νίκος αγαπάει
οποιονδήποτε υποστηρίζει τον Παναθηναϊκό. Να διατυπωθούν οι παραπάνω ισχυρισμοί
στη Prolog και να απαντηθούν τα παρακάτω ερωτήματα με ενοποίηση – επίλυση:
α. Ποιον αγαπάει ο Νίκος;
β. Αγαπά ο Γιώργος τον Βασίλη;
(Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τις κατάλληλες σταθερές π.χ νίκος, σπύρος, ολυμπιακός
κ.ο.κ και τις κατάλληλες σχέσεις π.χ υποστηρίζει(x,y), ασχολείται(z,w), κ.ο.κ και
περιγράψτε προσεκτικά με Prolog
τους παραπάνω ισχυρισμούς. Βάλτε ακόμα και τους
ισχυρισμούς που εννοούνται αλλά δεν αναφέρονται ρητά π.χ όποιος υποστηρίζει μια
από τις παραπάνω ομάδες συνεπάγεται ότι ασχολείται με το ποδόσφαιρο κ.ο.κ)
Τα θέματα είναι ισοδύναμα, καλή επιτυχία!