ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Α Εξεταστική Περίοδος(Ιουνίου 2002)
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καρλόβασι, 05/09/2002
Θέματα Μαθηματικής Λογικής
1)
Βρείτε ποιές είναι οι ταυτολογίες και
ποιές οι αντιλογίες στις παρακάτω προτάσεις χρησιμοποιώντας την μέθοδο της
επίλυσης (μετατρέψτε πρώτα τις προτάσεις σε ΣΚΜ συζευκτική κανονική μορφή)
(Υπόδειξη: Για να είναι μια ΣΚΜ αντιφατική θα πρέπει τελικά μετά από επιλύσεις
να προκύπτει ο κενός προγραμματικός)
2) Ένας μαθητής γνωρίζει ότι ισχύει μια τουλάχιστον από τις προτάσεις Α, Β και Γ για το τετράπλευρο ΚΛΜΝ όπου Α: οι διαγώνιοι του ΚΛΜΝ διχοτομούνται, Β: οι απέναντι γωνίες του ΚΛΜΝ είναι ίσες και Γ: οι απέναντι πλευρές του ΚΛΜΝ είναι ίσες. Επίσης θεωρεί δεδομένο οτι η Α συνεπάγεται την Δ όπου Δ: το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο, η Β συνεπάγεται την Γ και η Γ την Α. Προσπαθεί να δείξει την Δ. Μπορείτε να τον βοηθήσετε με τις γνώσεις σας στην Προτασιακή Λογική;
3)
Έστω L μια γλώσσα της Λογικής των
Κατηγορημάτων που αποτελείται από ένα μονοθέσιο συναρτησιακό σύμβολο f, από ένα
διθέσιο σύμβολο σχέσεως Q και από δύο σταθερές a, b, δηλ. L = {Q, f, a, b}. Θεωρούμε για
την L την εξής ερμηνεία (δομή) A που έχει σύμπαν Α το σύνολο όλων των
ανθρώπων και η Q ερμηνεύεται
ε(Q)(x1,x2)
ο άνθρωπος x1 είναι παιδί
του x2 . Επίσης ε(f)(x) = η μητέρα του(της) x, η a ερμηνεύεται να είναι η Ιφιγένεια και η b ο Ορέστης.
Χρησιμοποιώντας την A ερμηνεύστε την πρόταση σ: 
και δείξτε ότι είναι αληθής. Μπορείτε να βρείτε μια
διαφορετική ερμηνεία στην οποία η σ είναι ψευδής;
4) Έστω η γλώσσα της αριθμητικής L = {=, + , * , 0, 1}. Να γραφεί στην L ένας τύπος P(x) με μια ελεύθερη μεταβλητή την x,που να εκφράζει ότι ο x είναι ένας πρώτος αριθμός. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον P(x) να γραφεί μια πρόταση της L που να λέει ότι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών είναι άρτιος αριθμός. Τέλος να εκφράσετε τον P(x) σε συνολοθεωρητική μορφή.
5)
Θεωρούμε τις παρακάτω προτάσεις της
Ελληνικής:
Α: Ο δράκος κοιμάται στη σπηλιά του η κυνηγάει στο δάσος. Β: Αν ο δράκος είναι
πεινασμένος, τότε δεν κοιμάται στη σπηλιά. Γ: Αν ο δράκος είναι κουρασμένος,
τότε δεν κυνηγάει στο δάσος.
Αφού εισάγεται τα κατάλληλα σύμβολα σταθερών και σχέσεων (π.χ δράκος, κυνηγάει,
κοιμάται, κάνει(x,y,z) δηλ. ο x κάνει y μέσα στο(στη) z
κ.ο.κ) να
εκφράσετε τις παραπάνω προτάσεις σε γλώσσα PROLOG και στη συνέχεια
χρησιμοποιώντας την μέθοδο ενοποίησης-επίλυσης να απαντήσετε στις παρακάτω
ερωτήσεις: i) Τι κάνει ο δράκος όταν είναι πεινασμένος; ii)Τι κάνει ο δράκος όταν
είναι κουρασμένος; iii) Τι κάνει ο δράκος όταν είναι πεινασμένος και
κουρασμένος;
Τα θέματα είναι ισοδύναμα, καλή επιτυχία!