Η Κλίση μιας ανηφόρας ή κατηφόρας.
Demo για το Επιμορφωτικό πρόγραμμα “Διαδραστικά Μαθηματικά”Ο συντελεστής διεύθυνσης ή η κλίση μιας ευθείας(Γυμνάσιο).
Στόχος: Η έννοια της κλίσης (λόγος της απέναντι κάθετης πλεράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά).Δυσκολίες στην κατανόηση:
- Η πινακίδα στην αρχή του δρόμου λέει, για παράδειγμα, 10% και για την ανηφόρα και για την κατηφόρα. Έτσι ό μαθητής μπορεί να κατανοήσει ότι πάντοτε η κλίση είναι ένας θετικός αριθμός εκφραζόμενος μόνο με ένα ποσοστό (επί της εκατό %).
- Ο υπολογισμός της κλίσης με τον λόγο Δy/Δx δημιουργεί δυσκολίες στην περίπτωση μιας κατηφόρας(με κίνηση από αριστερά προς δεξιά κάτω) ή κίνησης από τα δεξία πρό τα αριστερά.
- Η συμπεριφορά του παραπάνω λόγου δεν είναι τόσο κατανοητή για γωνίες +90 μοίρες, - 90 μοίρες ή 0 μοίρες.
Η κατασκευή του κατάλληλου applet.
- Σχεδιάζουμε με το Mathematica τους δύο κάθετους άξονες με τον οριζόντιο άξονα να παίρνει τιμές από 0 έως το 10 και τον κάθετο άξονα να παίρνει τιμές από -10 έως 10. Επίσης κατασκευάζουμε μια γραμμή (Line) που ξεκινάει από το σημείο {0,0} και έχει το ρόλο του ανηφορικού ή κατηφορικού δρόμου. Η κλίση του δρόμου εξαρτάται από την γωνία phi.
- Για να αλλάζουμε τις τιμές της γωνίας phi κατασκευάζουμε ένα Slider(δηλ. ένα σύρτη, ή για ακόμα περισσότερες δυνατότητες ένα Manipulator) με τιμές από -89.5 έως 89.5 μοίρες και με αύξηση ανά μισή μοίρα . Οι +90 ή -90 μοίρες αποφεύγονται για να μην φορτωθεί παραπάνω ο κώδικας επειδή η συνάρτηση της εφαπτομένης Tan σε αυτές τις τιμές δεν ορίζεται (φυσικά μπορεί να ζητηθεί σε τέτοιες περιπτώσεις να δίνεται κάποια απάντηση για την κλίση όπως για παράδειγμα +άπειρο ή - άπειρο, αλλά θεωρούμε ότι μια τέτοια βελτίωση του applet μάλλον είναι επουσιώδης ως προς την κατανόηση της κλίσης από τον μαθητή.)
- Κατασκευάζουμε τρεις διαφορετικούς Locators, ένα για να κινούμαστε πάνω στην ευθεία(με το φορτηγάκι), έναν άλλο για να αλλάζουμε τις τιμές του x πάνω στον οριζόντιο άξονα και τέλος ένα Locator για να αλλάζουμε τις τιμές του y στον κάθετο άξονα. Φυσικά οι Locators έχουν μια πολύ καθορισμένη κίνηση, με την έννοια ότι η κίνηση του ενός επηρεάζει την κίνηση του άλλου Locator, όπως συμβαίνει για παράδειγμα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού. Εδώ... μπαίνουν τα μαθηματικά και η χρήση της συνάρτησης εφαπτομένης Tan[phi Degree] (για τον υπολογισμό της εφαπτομένης της γωνίας phi που μετριέται σε μοίρες) για την περιγραφή των σχετικών θέσεων των Locators. Για περισσότερες εξηγήσεις δείτε και το demo_klish.pdf
Φύλλο εργασίας.
Αφού ο μαθητής μελετήσει την μεταβολή της κλίσης με το παρακάτω applet να δοθούν κατάλληλες δραστηριότητες όπως για παράδειγμα:- Μέτρηση της κλίσης ενός οριζόντιου δρόμου.
- Η συμπεριφορά της κλίσης για μεγάλες γωνίες κοντά στις 90 μοίρες ή -90 μοίρες..
- Μέτρηση της κλίσης όταν έχουμε κίνηση ανηφορική ή κατηφορική προς τα αριστερά.
- Μέτρηση της κλίσης από ένα σημείο διαφορετικό από την αρχή του δρόμου( έλεγχος ότι η κλίση είναι ανεξάρτητη από τα σημεία μέτρησης πάνω στην ευθεία).
- Εύρεση των γωνιών που αντιστοιχεί σε δρόμους με κλίση 10%, 20% κοκ. Ο μαθητής να αδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι κάθε κλίση-όσο μεγάλη και να είναι- αντιστοιχεί σε μια και μοναδική γωνία μικρότερη των 90 μοιρών(οπότε υπάρχουν άπειρα το πλήθος αριθμοί μικρότεροι του 90)
Προτεινόμενες εργασίες & applets με το Mathematica.
Κατασκευή βελών:
- Η συνάρτηση ff όπως αυτή ορίσθηκε μέσα στο applet είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε τόξα(πάνω σε κύκλο) που τελειώνουν σε ένα βελάκι. Ψάξτε στο http://mathematica.stackexchange.com για να βρείτε και άλλες ιδέες κατασκευής κυκλικών τόξων. Προσπαθείστε να βελτιώσετε την ff έτσι ώστε για παράδειγμα να υπάρχουν δύο βελάκια σε κάθε άκρη του κυκλικού τόξου ή να έχετε κυκλικό τόξο με ουρά κοκ..
- Αφού ορίσετε την συνάρτηση AnnotatedArrow
AnnotatedArrow[p_, q_, label_] := {Arrowheads[{{-.1, 0}, {.1, .5,
Graphics[Inset[Style[label, Medium], {Center, Top}]]}, {.1, 1}}],
Arrow[{p, q}]}
και την συνάρτηση ParallelDim
ParallelDim[p_, q_, offset_, label_] := {Arrowheads[{{-.1, 0}, {.1, 0,
Graphics[Line[{{0, 1}, {0, -1}}]]}, {.1, .5,
Graphics[Inset[Style[label, Medium], {Center, Top}]]}, {.1, 1,
Graphics[Line[{{0, 1}, {0, -1}}]]}, {.1, 1}}],
Arrow[{p + offset, q + offset}]}
(που βρήκαμε στο Help του Mathematica) να προσπαθήσετε να διαπιστώσετε τι πετυχαίνουν κάνοντας πειραματισμούς με την Graphics. Κατασκευάσετε για παράδειγμα ένα ορθογώνιο τρίγωνο με διαστάσεις 3,4,5 εκατοστά στο οποίο κάθε πλευρά του να επισημειώνεται με το αντίστοιχο μήκος της και με την χρήση της AnnotatedArrow ή της ParallelDim.:Ξεκινήστε τους πειραματισμούς με τον παρακάτω υποδειγματικό κώδικα.
Graphics[{Thick, Line[{{0, 0}, {1, 1}, {1, 0}, {0, 0}}], Thin, ParallelDim[{0, 0}, {1, 1}, {-.1, .1}, Sqrt[2]]}]
που όταν τον τρέξετε θα πάρετε την παρακάτω εικόνα.
Σχετικά applets:
- Προσπαθείστε να κατασκευάσετε μια πλήρη(και συγχρόνως διασκεδαστική)εφαρμογή με κινούμενους δείκτες ρολογιού για χρήση στο νηπιαγωγείο ή την Α Δημοτικού. Μάλλον εδώ θα χρειαστείτε δύο Locators ένα για το εσωτερικό δείκτη του ρολογιού και έναν για τον εξωτερικό(των λεπτών). Πρέπει να εκφράσετε σωστά την σχέση μεταξύ των δύο δεικτών. Έτσι για παράδειγμα ένας πλήρης κύκλος για τον λεπτοδείκτη θα πρέπει να αντιστοιχεί μόνο σε 1/12 του κύκλου για το δείκτη της ώρας. Μπορείτε ακόμα με κατάλληλo τρόπο να δίνετε την ερώτηση στον μαθητή (π.χ. Τρεις-Παρά -Τέταρτο) και στην συνέχεια αυτός να προσπαθεί να μετακινήσει τους δείκτες έως ότου πετύχει κάποιο χαρακτηριστικό ήχο ή κάποιο χρώμα(πράσινο) που θα του πιστοποιεί την επιτυχία του. Φυσικά αν θέλετε μπορείτε να το επεκτείνετε με την μορφή παιγνιδιού με την μορφή θετικής ή αρνητικής βαθμολογίας για κάθε παίκτη. Για τυχαίες ερωτήσεις μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την συνάρτηση Random του Mathematica.
- Κατασκευή μιας εφαρμογής για την κατανόηση του τριγωνομετρικού κύκλου και των τριγωνομετρικών αριθμών. Φυσικά, εδώ δεν έχετε πολλά να κάνετε. Μάλλον θα πρέπει να βελτιώσετε το παρακάτω applet ώστε να περιλαμβάνει ένα ολόκληρο κύκλο και να βάλετε εκτός την εφαπτομένη και τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς.
Το δωρεάν CDF plugin της Mathematica απαιτείται για να τρέξετε το παρακάτω demo του e-Epimorfosi προγράμματος "Διαδραστικά Μαθηματικά" του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Από την στιγμή που το plugin εγκατασταθεί στο δικό σας pc, το παρακάτω Mathematica applet μπορεί να τρέξει εξ' αποστάσεως μέσα από τον browser χωρίς να απαιτείται να το κατεβάσετε στον χώρο σας.
Το απαιτούμενο plugin μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα της Wolfram research http://www.wolfram.com/cdf-player/