Νίκος Χαλιδιάς

Το ερευνητικό ενδιαφέρον (google scholar) μου τα τελευταία 10 χρόνια εστιάζεται κυρίως στην Στοχαστική Ανάλυση (δες εργασίες 1 – 8, 10, 12, 14 και 17 παρακάτω), στα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά (δες εργασίες αντίστοιχες εργασιες παρακάτω), Μαρκοβιανές Αλυσίδες (δες εργασίες 13 και 20 παρακάτω) καθώς και σε θέματα μετασχηματισμών Fourier και Laplace (εργασία 9) και Γραμμικής Άλγεβρας (εργασία 16) που σχετίζονται άμεσα με τις Διαφορικές Εξισώσεις και Μαρκοβιανές Αλυσίδες.

[1] Semi-discrete approximations for stochastic differential equations and applications, Int. J. Computer Mathematics, Vol. 89, 6, 2012

στην οποία και προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα για την στοχαστική διαφορική εξίσωση CIR που εμφανίζεται στα χρηματοοικονομικά (δες επίσης Heston volatility model). Η δυσκολία είναι να κατασκευαστεί ένα αριθμητικό σχήμα τ.ω. η προσεγγιστική λύση να είναι επίσης θετική όπως και η πραγματική. Όμως και άλλες ιδιότητες επίσης είναι επιθυμητές (δες arxiv). Στην συνέχεια, η παραπάνω εργασία γενικεύθηκε,

[2] A novel approach to construct numerical methods for stochastic differential equations, Numerical Algorithms, Springer

έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να κατασκευάζουμε αριθμητικά σχήματα και για κάποιες υπέρ-γραμμικές στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις.

Μια γενίκευση της [2] σε πολλές διαστάσεις,

[3] Construction of positivity preserving numerical schemes for multidimensional stochastic differential equations, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B(κώδικας maple)

και ακόμη μια, σε άλλη κατεύθυνση, στην παρακάτω εργασία σε συνεργασία με τον υποψήφιο διδάκτορα Σταματίου Ιωάννη

[4] On the numerical solution of some nonlinear stochastic differential equations using the semi discrete method, Computational Methods in Applied Mathematics.

Συνεχίζοντας την εργασία [1] γενικεύουμε στην [5] το αριθμητικό σχήμα που προτείναμε στην [1] έτσι ώστε να είναι καλά ορισμένο σε μεγαλύτερο σύνολο παραμέτρων. Η τάξη σύγκλισης είναι λογαριθμική, όπως δηλαδή και η τάξη σύγκλισης της απλή μεθόδου Euler, ενώ σε περιορισμένο σύνολο παραμέτρων η τάξη είναι τουλάχιστον 1/4.

[5] A new numerical scheme for the CIR process, Monte Carlo Methods and Applications, preprint (κώδικας maple).

Στην [6] εργαζόμαστε σε ένα σύστημα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων που εμφανίζεται στα χρηματοοικονομικά, το λεγόμενο two factor CIR model. Για αυτό το σύστημα προτείνουμε δυο αριθμητικά σχήματα που διατηρούν την θετικότητα χρησιμοποιώντας την βασική ιδέα της εργασίας [3] παραπάνω.

[6] Constructing positivity preserving numerical schemes for the two factor CIR model, Monte Carlo Methods and Applications

Στην επόμενη εργασία προτείνουμε ένα άμεσο σχήμα για το ''mean reverting CEV'' μοντέλο.

[7] Αn explicit and positivity preserving numerical scheme for the mean reverting CEV model, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Springer, arXiv

Στην [8] παρακάτω μια προσπάθεια για το mean-reverting CEV μοντέλο με τον υποψήφιο διδάκτορα Ι. Σταματίου,

[8] Approximating explicitly the mean-reverting CEV process, Journal of Probability and Statistics

Στην επόμενη δημοσίευση μελετούμε την αποτίμηση δικαιωμάτων σε διακριτό χρόνο χρησιμοποιώντας βασικά μαθηματικά εργαλεία.

[9] An elementary approach to the option pricing problem, Asian Research Journal of Mathematics, 2016

Στην [10] παρακάτω περιγράφουμε κάποιες σκέψεις για περαιτέρω γενίκευση της semi discrete μεθόδου

[10] On the construction of boundary preserving numerical schemes, Monte Carlo Methods and Applications, Vol. 22, issue 4, 2016, arXiv

Στην επόμενη εργασία μελετούμε μια γενίκευση των μετασχηματισμών Fourier και Laplace. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στην εφαρμογή των μετασχηματισμών στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων και άλλων. Δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε αν η άγνωστη ποσότητα έχει τις απαιτούμενες ιδιότητες, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό προκειμένου να υπολογίσουμε μια πιθανή λύση. Η απόδειξη του αν αυτή η ποσότητα είναι όντως μια λύση του προβλήματος θα προέλθει μέσω επαλήθευσης και όχι από την εφαρμογή του μετασχηματισμού!

[11] A generalization of Laplace and Fourier transforms, Asian Journal of Mathematics and Computer Research24(1), pp. 32-41, 2018, arXiv (δείτε και αυτή την εργασία)

[12] Convergence rates of the Semi-Discrete method for stochastic differential equations, Theory of Stochastic Processes, 2019

[13] On the absorption probabilities and mean time to absorption for discrete Markov chains, Monte Carlo Methods Appl. 2021; 27(2): 105–115, επίσης στο, researchgate.

[14] A note on the asymptotic stability of the Semi-Discrete method for stochastic differential equations, Monte Carlo Methods and Applications, to appear.

Στην επόμενη εργασία περιγράφουμε το διωνυμικό μοντέλο για ένα υποκείμενο αγαθό. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η περιγραφή αυτή να γίνει με απλό, αλλά ταυτόχρονα, αυστηρά μαθηματικά τρόπο για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου.

[15] On the binomial option pricing, Asian J. Math. Appl. (2022)

Στην επόμενη εργασία μελετούμε το πρόβλημα του υπολογισμού του ελαχίστου πολυωνύμου, της νιοστής δύναμης πίνακα και του εκθετικού πίνακα. Συσχετίζουμε την νιοστή δύναμη ενός πίνακα με τον αντίστροφο του καθώς και με τον ψευδοαντίστροφο (κατά Drazin).

[16] On the Computation of the Minimum Polynomial and Applications, Asian Research Journal of Mathematics 2022, Preprint,.

[17] Boundary Preserving Explicit scheme for the Ait-Sahalia model, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B.

Αποτίμηση Συμβολαίων Προαίρεσης

Σε αυτή την εργασία περιγράφω το πρόβλημα της «αποτίμησης» των συμβολαίων προαίρεσης καθώς και μια στρατηγική επένδυσης. Στην πραγματικότητα δεν πρόκειται για πρόβλημα αποτίμησης αλλά για πρόβλημα αντιστάθμισης κινδύνου και μόνο, μιας και η τιμή πώλησης ενός τέτοιου συμβολαίου θα προκύψει σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς και της ζήτησης!

Ο πωλητής ενός συμβολαίου, θα χρειαστεί να κάνει πρώτα μια στατιστική ανάλυση των παρελθοντικών απολαβών (ή και αξιών) αυτού του συμβολαίου προκειμένου να γνωρίζει την τάξη μεγέθους του ποσού που πρόκειται να πληρώσει. Μια σχετική μελέτη έχουμε κάνει στην επόμενη εργασία. Η τιμή πώλησης Y θα προκύψει σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς και της ζήτησης.

Το πρόβλημα στη συνέχεια για τον πωλητή είναι να κατασκευάσει ένα χαρτοφυλάκιο με το ποσό Y έτσι ώστε, αφενός να φράξει την πιθανή ζημιά και αφετέρου να αυξήσει την πιθανότητα (μέση τιμή, διακύμανση κ.α.) κέρδους. Για να αυξήσει την πιθανότητα κέρδους θα πρέπει να μαντέψει την μελλοντική κίνηση της μετοχής και με βάση αυτή την υπόθεση να κατασκευάσει ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο λύνοντας ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης. Σε αυτό το σημείο μπορεί να χρειαστούν κατάλληλες προσομοιώσεις των τιμών των υποκείμενων αγαθών. Οι τιμές πρέπει να είναι θετικές και επομένως θα πρέπει να εφαρμοσθούν κατάλληλες προσεγγιστικές μέθοδοι, δείτε για παράδειγμα την εργασία [10] παραπάνω και όλες τις συναφείς. Την ίδια μελέτη μπορεί να κάνει και ο αγοραστής του συμβολαίου, δηλαδή το πως να κατασκευάσει ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο προφανώς θα περιέχει το ήδη αγορασμένο συμβόλαιο, έτσι ώστε να αυξήσει την πιθανότητα κέρδους, αν έχει αγοράσει ένα τέτοιο συμβόλαιο για κερδοσκοπικούς λόγους.

Το μοντέλο Black-Scholes προτείνει μια δίκαιη τιμή κάτω από τις επόμενες δυο προϋποθέσεις.

1. Όλοι οι επενδυτές έχουν την ίδια άποψη για την μελλοντική κίνηση της αξίας του υποκείμενου αγαθού.

Αυτό αποτυπώνεται με την υπόθεση ότι η κίνηση της αξίας του υποκείμενου αγαθού ακολουθεί τη γεωμετρική κίνηση Brown με παραμέτρους m,σ. Πως θα υπολογίσουμε την παράμετρο σ; Αυτό μπορεί να γίνει με ιστορικά δεδομένα ή/και μαντεύοντας. Όμως, αν χρησιμοποιηθούν ιστορικά δεδομένα 1 τριμήνου θα πάρουμε διαφορετική τιμή από ότι αν χρησιμοποιηθούν δεδομένα 1 εξαμήνου κ.τ.λ. Αυτό σημαίνει ότι δεν θα έχουν όλοι την ίδια άποψη για την τιμή του σ. Παρομοίως, αν η εκτίμηση γίνει μαντεύοντας την μελλοντική κίνηση της αξίας της μετοχής, επίσης δεν θα έχουν όλοι την ίδια άποψη για την τιμή του σ. Είναι σημαντικό σφάλμα από στατιστικής άποψης να πιστεύει κανείς ότι το σ είναι σταθερό και άρα κάθε μετοχή χαρακτηρίζεται πλήρως από την μεταβλητότητα του.

2. Η κατασκευή του αντισταθμιστικού χαρτοφυλακίου σε χρόνο συνεχή είναι εφικτή.

Δυστυχώς, κανένα από τα παραπάνω δεν ισχύει, συνεπώς το μοντέλο αυτό δεν δίνει καμία χρήσιμη πληροφορία στον επενδυτή όσον αφορά την δίκαιη τιμή πώλησης ενός συμβολαίου. Το διακριτό μοντέλο Black-Scholes, όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο Stochastic Finance, επίσης δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό δίκαιης τιμής μιας και αυτό στηρίζεται σε μια υπόθεση για την κίνηση της αξίας της μετοχής την οποία βεβαίως δεν συμμερίζονται όλοι οι επενδυτές.

Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί ως αντισταθμιστικό χαρτοφυλάκιο; Το χαρτοφυλάκιο αυτό δεν είναι αυτοχρηματοδοτούμενο και επομένως ο επενδυτής θα πρέπει ίσως να τοποθετεί χρήματα σε τακτά χρονικά διαστήματα (το να εκταμιεύει δεν αποτελεί πρόβλημα!) Ένας θεωρητικός των χρηματοοικονομικών θα αρκεστεί στο ότι η μέση τιμή συγκλίνει στο μηδέν καθώς το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δυο αναδιαρθρώσεων συγκλίνει στο μηδέν. Η απόδειξη του ότι η μέση τιμή συγκλίνει στο μηδέν όπως παρουσιάζεται στο παραπάνω βιβλίο απαιτεί η συνάρτηση απολαβής να είναι δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη το οποίο δεν ισχύει γενικά, όπως π.χ. στα call και put συμβόλαια. Ένας επενδυτής όμως ο οποίος θα ποντάρει τα χρήματα του σε αυτή τη στρατηγική επένδυσης δεν θα αρκεστεί διότι θέλει η μέση τιμή αυτή να είναι θετική. Πράγματι, αυτό μπορεί να επιτευχθεί με άλλες στρατηγικές αντιστάθμισης (και με λιγότερα χρήματα μάλιστα) έχοντας εξασφαλίσει επιπλέον το ότι δεν θα χρεοκοπήσει. Ο κίνδυνος χρεοκοπίας όμως είναι υπαρκτός εφαρμόζοντας τη Black-Scholes στρατηγική αντιστάθμισης.

Ας δούμε ακόμη μερικά μειονεκτήματα αυτής της στρατηγικής. Παρατηρούμε ότι, ενώ είναι σε διακριτό χρόνο, θα μεσολαβήσει ένα χρονικό διάστημα μέχρι η εντολή αναδιάρθρωσης να διεκπεραιωθεί. Η καθυστέρηση αυτή δεν είναι σημαντική αν η χρονική διάρκεια μεταξύ των αναδιαρθρώσεων είναι μεγάλη αλλά τότε η μέση τιμή δεν είναι κοντά στο μηδέν ενώ αν η χρονική αυτή διάρκεια είναι πολύ μικρή τότε η παραπάνω καθυστέρηση είναι πολύ σημαντική. Στη συγκεκριμένη στρατηγική είναι εύκολο να δούμε ότι αφού πρώτα ανέβει η τιμή της μετοχής τότε ο επενδυτής θα πρέπει να αγοράσει ενώ αφού κατέβει θα πρέπει να πουλήσει. Δηλαδή ικανοποιεί την αρχή «πούλα φθηνά – αγόρασε ακριβά» η οποία είναι ενάντια στη κοινά αποδεκτή αρχή «πούλα ακριβά – αγόρασε φθηνά». Το πιο σημαντικό όμως είναι ότι η πιθανή ζημιά σε κάθε αναδιάρθρωση δεν είναι περιορισμένη (παρότι το πλήθος των αναδιαρθρώσεων είναι πεπερασμένο) ενώ το πιθανό κέρδος είναι. Για έναν επενδυτή (που ποντάρει πραγματικά χρήματα!) αυτό δεν είναι καθόλου καλό χαρακτηριστικό διότι υπάρχουν άλλες στρατηγικές αντιστάθμισης οι οποίες σου εξασφαλίζουν περιορισμένη πιθανή ζημιά και μάλιστα ανεξάρτητα από το πως θα κινηθεί τελικά η μετοχή! Μάλιστα, αν λάβει κανείς υπόψη τα κόστη συναλλαγής θα καταλάβει ότι στη στρατηγική αυτή τα κόστη συναλλαγής δεν είναι περιορισμένα παρόλο που οι αναδιαρθρώσεις είναι πεπερασμένες! Και σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν άλλες στρατηγικές στις οποίες τα κόστη συναλλαγής είναι περιορισμένα.

Η αρχική ιδέα του μοντέλου των Black-Scholes ήταν να βρεθεί ένας τρόπος ορισμού δίκαιης τιμής. Δυστυχώς όμως αυτό δεν μπορεί να γίνει εάν στηρίζεται σε μια υπόθεση για την κίνηση της αξίας του υποκείμενου αγαθού διότι πολύ απλά δεν θα τη συμμερίζονται όλοι οι επενδυτές. Εφόσον το μοντέλο αυτό αποτυγχάνει στο πρόβλημα ορισμού δίκαιης τιμής το μόνο που μένει να κάνουμε είναι να εξετάσουμε κατά πόσο είναι χρήσιμο ως στρατηγική αντιστάθμισης. Οι παραπάνω παρατηρήσεις δείχνουν προς την αρνητική κατεύθυνση!

Οι φοιτητές (και πιθανοί σύμβουλοι επενδυτών στο μέλλον) είναι καλό να γνωρίζουν αυτή τη θεωρία αλλά μόνο ως πιθανή στρατηγική αντιστάθμισης και όχι ως τρόπο ορισμού δίκαιης τιμής. Θα πρέπει επίσης να γνωρίζουν τις πρακτικές δυσκολίες και κινδύνους που κρύβει η εφαρμογή της στρατηγικής αυτής ενώ είναι καλό να γνωρίζουν και άλλες στρατηγικές οι οποίες είναι αποδοτικότερες και μάλιστα εφαρμόζοντας επίσης ενδιαφέροντα μαθηματικά εργαλεία! Φανταστείτε έναν σεισμολόγο ο οποίος βρίσκοντας μια ενδιαφέρουσα, από μαθηματικής άποψης, θεωρία κάτω από την υπόθεση ότι η Γη είναι επίπεδη να διδάσκει στους φοιτητές αυτή την θεωρία μόνο και μόνο για την ομορφιά των μαθηματικών! Είναι βέβαιο ότι υπάρχουν όμορφα μαθηματικά προβλήματα (χωρίς κάποια εφαρμογή κατά ανάγκη) τα οποία μπορεί να συναντήσει κανείς στα θεωρητικά μαθηματικά.

Παρόμοια λογική έχει και το διωνυμικό μοντέλο. Παρότι είναι σε διακριτό χρόνο και άρα πρακτικά εφικτό, η υπόθεση του ότι οι επόμενες πιθανές αξίες της μετοχής είναι δυο κάνει το μοντέλο αυτό μη πρακτικό όσον αφορά τον ορισμό δίκαιης τιμής. Παρόλα αυτά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως στρατηγική αντιστάθμισης όπως έχουμε αποδείξει στην επόμενη εργασία.

Το πρόβλημα της αποτίμησης όπως το αντιλαμβάνονται οι περισσότεροι, δηλαδή ποια θα είναι τελικά η τιμή πώλησης ενός συμβολαίου, είναι στην πραγματικότητα ένα πρόβλημα πρόβλεψης διότι πρέπει να λάβει κανείς υπόψη όλους τους πιθανούς επενδυτές που θα εμπλακούν σε αυτό καθώς και να γνωρίζει τις απόψεις τους για την μελλοντική αξία του υποκείμενου αγαθού. Δεδομένου ότι η αξία οποιουδήποτε συμβολαίου προαίρεσης είναι συνάρτηση των τιμών κάποιων υποκείμενων αγαθών, το πρόβλημα πρόβλεψης της μελλοντικής αξίας ενός συμβολαίου ανάγεται σε πρόβλημα πρόβλεψης των αξιών των υποκείμενων αγαθών.

Στην παραπάνω εργασία προτείνω και ένα τρόπο ορισμού δίκαιης τιμής η οποία δεν προϋποθέτει καμία υπόθεση για το υποκείμενο αγαθό. Η μοναδική προϋπόθεση είναι ότι τόσο ο αγοραστής όσο και ο πωλητής μπορούν να αγοράσουν/πουλήσουν συγκεκριμένα συμβόλαια αγοράς και πώλησης που ήδη υπάρχουν στην αγορά. Η δίκαιη τιμή πώλησης ενός συμβολαίου ορίζεται ως η τιμή με την οποία και οι δυο μπορούν να κατασκευάσουν χαρτοφυλάκιο με την ίδια μέγιστη πιθανή ζημιά το οποίο θα περιέχει το συγκεκριμένο συμβόλαιο καθώς και τα συμβόλαια αγοράς και πώλησης. Τα χαρτοφυλάκια αυτά είναι πραγματοποιήσιμα στην πραγματική ζωή και η κατασκευή τους γίνεται κατά το χρόνο μηδέν χωρίς να υποθέτουμε κάποια αναδιάρθρωση κατά τη διάρκεια.

Διαφάνειες των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών μπορεί να βρει κανείς σε αυτό το αρχείο.

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μελετώντας Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χώρου το σημαντικότερο ίσως πρόβλημα είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων μετάβασης. Για τον υπολογισμό αυτό θα πρέπει να υπολογίσει κανείς την νιοστή δύναμη του πίνακα μετάβασης (για αλυσίδες διακριτού χρόνου) ή τον εκθετικό πίνακα (για αλυσίδες συνεχούς χρόνου). Αν αυτό δεν είναι εφικτό, τότε προσπαθούμε να υπολογίσουμε τις οριακές πιθανότητες οπότε για μεγάλα n ή μεγάλα t οι πιθανότητες μετάβασης θα είναι περίπου ίσες με τις οριακές. Αν ούτε αυτό είναι δυνατό τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε κάποιου τύπου εργοδικό θεώρημα το οποίο όμως μας δίνει την μικρότερη δυνατή πληροφορία. Στις επόμενες δυο εργασίες ασχολούμαστε με αυτά τα ερωτήματα.

Στην επόμενη εργασία μελετάμε το πρόβλημα εύρεσης οριακών πιθανοτήτων σε μια διακριτού χρόνου Μαρκοβιανή αλυσίδα. Αποδεικνύουμε ορισμένα εργοδικά θεωρήματα με σχετικά απλά μαθηματικά εργαλεία και συσχετίζουμε το εργοδικό θεώρημα με τις οριακές πιθανότητες. Διαπιστώνουμε ότι η εύρεση των οριακών πιθανοτήτων είναι ισχυρότερο αποτέλεσμα από το αντίστοιχο του εργοδικού θεωρήματος.

[20] Asymptotic Theorems for Discrete Markov Chains, Asian Journal of Probability and Statistics, 26(2), 1–17.

Στην επόμενη εργασία μελετάμε το πρόβλημα υπολογισμού του ελαχίστου πολυωνύμου ενός τετραγωνικού πίνακα, δίνουμε τον αντίστοιχο matlab κώδικα και καταγράφουμε την απλούστερη δυνατή απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πολυώνυμο υπολογίζουμε τον πίνακα f(A) (και δίνουμε τον αντίστοιχο matlab κώδικα), όπου f είναι μια δοσμένη συνάρτηση, δίνοντας επίσης την απλούστερη δυνατή απόδειξη για την αντίστοιχη μεθοδολογία. Τέλος, συσχετίζουμε τον υπολογισμό του Drazin αντιστρόφου με τον υπολογισμό της νιοστής δύναμης του πίνακα.

[21] Computing the minimum polynomial, the function and the Drazin inverse of a matrix with Matlab, Asian Journal of Research in Computer Science, 17(5), 1–9. Matlab file exchange.

Κατάλογος Δημοσιεύσεων σε περιοδικά με κριτές.

Δημοσιεύσεις (zbMATH)

Δημοσιεύσεις (MATHSCINET)

Επίβλεψη Διδακτορικής Διατριβής

Ιωάννης Σταματίου: Numerical analysis of stochastic differential equations with applications in financial mathematics and molecular dynamics

Μέλος Συντακτικής Ομάδας (Editorial Board)

· Pioneer Journal of Theoretical and Applied Statistics

· BIOINFO Computational Mathematics

· Special Issue "Advances in Stochastic Differential Equations and Applications to Finance"

· Special Issue "Stochastic Processes"

Reviews

1. American Mathematical Society: Article Reviews, Book Reviews

2. zbMATH : Article Reviews, Book Reviews